Was ist ein Derivat?

Eine abgeleitete Funktion ist ein Basiselement inDifferentialrechnung. Dieses Element ist ein definitives Ergebnis der Anwendung einer bestimmten Differenzierungsoperation in Bezug auf die ursprüngliche Funktion.

Definition der Ableitung

Um zu verstehen, was ein Derivat ist,man muss wissen, dass der Name der Funktion direkt aus dem Wort "erzeugt", dh, aus dem anderen beliebigen Wert entsteht. Der Prozess der Bestimmung der Ableitung einer bestimmten Funktion hat dabei den Namen "Differenzierung".

Die häufigste Methode zum Präsentieren undDefinitionen, mit der Theorie der Grenzen, trotz der Tatsache, dass es viel später erschien als Differentialkalküle. Nach der Definition dieser Theorie ist die Ableitung die Grenze in Bezug auf das Inkrementieren von Funktionen zur Inkrementierung des Arguments, wenn es eine solche Grenze gibt, und vorausgesetzt, dass dieses Argument zu einem Nullwert tendiert.

Es ist allgemein anerkannt, dass der Begriff und der Begriff "Ableitung" in seinen Werken zum ersten Mal von einem bekannten russischen Mathematiker namens VI Viskovatov verwendet wurde.

Das folgende kleine Beispiel hilft zu verstehen, was ein Derivat ist.

1. Um die Ableitung der Funktion f am Punkt x zu finden, müssen wir die Werte dieser Funktion direkt am Punkt x und auch am Punkt x + Δx bestimmen. Und Δx sind die Inkremente des Arguments x.
2. Finde das Inkrement für die Funktion y, die gleich f (x + Δx) - f (x) ist.
3. Schreiben Sie die Ableitung mit Hilfe der Grenze des Verhältnisses f '= lim (f (x + Δx) - f (x)) / Δx, berechnen Sie für Δx → 0.

Normalerweise wird die Ableitung durch das Apostroph bezeichnetDirekt über eine differenzierbare Funktion. Die Bezeichnung als ein einzelnes Apostroph bezeichnet die erste Ableitung in Form von zwei - die zweite. Die Ableitung der höchsten Ordnung wird normalerweise durch die entsprechende Ziffer gegeben, zum Beispiel f ^ (n) - was die Ableitung der n-ten Ordnung bedeutet, wobei der Buchstabe "n" eine ganze Zahl ist, die & lambda; 0. Die Ableitung nullter Ordnung ist die differenzierbare Funktion selbst.

Um die Unterscheidung komplizierter Funktionen zu erleichtern, wurden bestimmte Regeln zur Unterscheidung von Funktionen entwickelt und übernommen:

• C '= 0, wobei C die konstante Bezeichnung ist;
• x 'ist 1;
• (f + g) 'ist gleich f' + g ';
• (C * f) 'ist gleich C * f' und so weiter.
• Für die N-fache Differenzierung ist es bequemer, die Leibniz-Formel in folgender Form anzuwenden: (f * g)⁽ⁿ⁾ = Σ C (n)^k* f^(n-k)* g^zu, in der C (n)^zu - Bezeichnung der Binomialkoeffizienten.

Derivat und Geometrie

Geometrische Interpretation der Ableitung istWenn für eine Funktion f eine endliche Ableitung am Punkt x existiert, dann ist der Wert dieser Ableitung gleich der Tangente des Winkels von der Steigung in der Tangente an die Funktion f an einem gegebenen Punkt.